实数理论？

为了对实数连续统进行严格描述而产生的理论。实数理论是分析基础的三大部分之一，另外两个部分是极限理论、变量与函数。极限理论是数学分析的基本研究方法，而变量与函数是数学分析的基本研究对象。实数理论的成功建立，使得分析基础形成了一个完整的体系，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。

中文名

实数理论

外文名

real number theory

别名

实数论

所属学科

数学

理论基础

公理集合论

实数完备性连分数理论实数的完备性根号2是无理数的证明代数数论实数定义初等对称多项式马尔可夫不等式超实数公理集合论

概述

实数理论包括对实数的结构,运算法则,和拓扑性质等方面的问题的研究。

实数集有多重结构，例如:

代数结构：从代数上看实数集是一个域。

序结构：实数集是一个有序集。

拓扑结构：实数集是一个拓扑空间,并且有诸如完备性,可分性,和列紧性等一些非常好的性质。

实数理论包含了深刻而丰富的信息,实数理论是极限的基础,也是近代分析数的最重要基础之一。

实数集

公理系统

一

I) (R，+，×）为一个域 即 R 上定义了加法+和乘法×运算，且它们构成一个域。

(II) R 为一个全序集 即 R 上定义了一个全序关系 ≤。

(III) R 满足阿基米德公理 阿基米德公理：b∈R，a>0 则存在 n∈N，使得 n·a>b。

(IV) R 有连续性 R 满足实数连续性命题。

二​

I) 加法公理 确定了一个映射（加法运算）

+：R×R→R，

使得

1. 有中性元 0 存在（叫做加法零元），使对任何的 x∈R，

x+0=0+x=x。

2. 每个元 x∈R 有元 -x∈R，叫做 x 的负元，使得

x+(-x)=(-x)+x=0。

3. 运算 + 是结合的，即R中任何 x,y,z 满足

x+(y+z)=(x+y)+z。

4. 运算 + 是交换的，即R中的任何 x,y 满足

x+y=y+x。

加法公理说明，R 是阿贝尔群。

(II) 乘法公理 确定了一个映射（乘法运算）

·：R×R→R，

满足

1. 有中性元 1∈R 存在（叫做单位元），使对任何的 x∈R，

x·1=1·x=x。

2. 每个元 x∈R 有元 y∈R ，叫x的逆元，如果

x·y=y·x=1。

3. 运算是结合的，即任何 x,y,z 满足

x·(y·z)=(x·y)·z。

4. 运算 + 是交换的，即 R 中的任何 x,y 满足

x·y=y·x。

加法公理说明，集 R 关于乘法是(乘法)群。

(I,II) 加法与乘法的联系 乘法对加法有分配性，即对任何 x,y,z ∈R，

x+(y·z)=x·z+y·z。

以上所有公理表明，R 是一个代数域。

(III) 序公理 R的元素间有关系≤，即对R的元素 x 与 y，或满足 x≤y，或不满足。同时有

1. 对任何x∈R，x≤x。

2. (x≤y)且(y≤x)蕴含(x=y)。

3. (x≤y)且(y≤z)蕴含(x≤z)。

4. 对任何x,y∈R，或者(x≤y)，或者(y≤x)。

这说明实数集对它的元素间的不等关系来说，是线性序(或全序)集。

(I,III) R中加法与序关系的联系 如果x,y,z是R中的元素，那么

(x≤y)蕴含(x+z≤y+z)。

(II,III) R中乘法与序关系的联系 如果x,y,z是R中的元素，那么

(0≤x)且(0≤y)蕴含(0≤x·y)。

(IV) 完备(连续)公理 如果 X 与 Y 是 R 的非空子集，且对任何 x∈X，y∈Y，有 x≤y，那么，存在 c∈R，使对任何 x∈X，y∈Y 有x≤c≤y。

以上两个实数公理系统是等价的。可以看出，它们只在对待阿基米德原理上有所不同。在公理系统二中，阿基米德原理可作为公理的推论（这是因为公理系统二相对于一额外定义了序关系与加法乘法运算的关系）。

满足这些公理的任何集合 R，都可被认为是实数集的具体实现，或称为实数模型。