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贝叶斯定理的浪漫解释?

2024-09-30 19:43:00爱情观1

一天小明去做例行体检,检查结果显示小明对一宗罕见的病呈阳性,医生根据历史数据得知普通人得这种病的概率是0.1%(基础概率,Prior Belief)。于是小明问医生,我得了这种病的概率是多少呢?医生说,患者的检测结果99%会呈阳性,对于非患者,有1%的概率会呈阳性(误诊)。

大家先问问自己,小明患病的概率是多少?大部分人的直觉答案是99%,或者至少很高。可惜错了,因为我们忽略了基础概率,请仔细阅读下面的分析。

当我们用贝叶斯定理分析时,我们可以假设检查呈阳性为事件A,发生的概率为P(A);小明患病为事件B,发生的概率为P(B);两个事件一起发生的概率为P(A [公式] B)。根据正文前的概念1可知P(B|A)*P(A) = P(A|B)*P(B),等式两边同时除以P(A)可以得到P(B|A) = P(A|B)*P(B)/ P(A)。

现在我们把具体情境套入公式,P(B|A)代表当小明的检查为阳性时,小明为患者的概率(也就是小明最关心的问题);P(A|B)代表当小明为患者的情况下,检查呈阳性的概率(99%);P(B)是小明患病的基础概率,也就是在没有其他信息的情况下,小明患这种病的概率(0.1%);P(A)是随机挑一个人,检查结果为阳性的期望值(备注1),这个例子中P(A) = 0.01098。把数字代入公式中,我们可以得到P(B|A) [公式] 9%,也就是说在检查结果为阳性的情况下,小明患病的概率只有9%。

虽然以上结论非常反直觉,但是一旦把被误诊为阳性的人考虑进去,这个结论就符合直觉了。假设有个1000人的样本,根据基础概率(0.1%)只会有1个病人,而剩下的999个非患者有1%的概率被误诊,也就是大约有10个非患者的检查结果呈阳性。加上1个被确诊的患者,这个1000人的样本中共有11个人的检查结果为阳性,而只有一个病人,也就是1/11 [公式] 9%。回到原来的情景,我们可以想象小明在一个有11个检查结果为阳性,却只有一个病人的小组中,所以小明是患者的概率约为9%。

这是不是表明医学对监测罕见疾病无能为力呢?当然不是,解决问题的方法很简单,只要对第一次结果呈阳性的人再做一次检测就行了(假设两次检查结果互相独立)。第一次的结果为阳性的的小组里,患病的基础概率已经从0.1%提高到9%,把数据重新代入公式,我们可以得出P(B|A) [公式] 91%。

以上是对贝叶斯定理的简单应用,其实大到破解德军密码到小到筛选垃圾邮件都运用了贝叶斯定理,说它贯穿了我们生活的方方面面也一点不过分。贝叶斯定理让我们关注基本概率,并通过新的信息不断更新基本概率,从而提高判断的准确度。

一个简单的公式背后是指导认识世界的深刻哲学,这才是能让人兴奋得尖叫的智慧。

备注1:P(A) = P(B)*P(A|B) + P(-B)*P(A|-B)。呈阳性的期望值分为两部分,一种是“患者(B)”的确诊,另一种是“非患者(-B)”的误诊,分别把“患者”和“非患者”的基础概率乘以其确诊的误诊的概率就是随机挑选一个被试,检查结果呈阳性的概率。

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